К сожалению, я не знаю как дела обстоят с агентствами в Бирмингеме (я там бываю очень редко, только по делам, краткосрочные визиты). Лично для себя, я бы не выбрал этот город для жизни однозначно, по всем тем причинам, что я изложил выше. Преимущество иммигрантов состоит в том, что отсутствует круг друзей, знакомых, родни, когда человек иммигрирует, поэтому он может логически выбрать для себя то место, где ему комфортно.
Могу порекомендовать сходить в различные агентства, не ограничиваясь одним. Одно из крупнейших в Британии Hays, у них довольно качественный подход к делу. https://www.hays.co.uk/local-jobs/birmingham Я с ними сотрудничал, когда сам участвовал в процессе найма людей на работу, всё было очень неплохо.